cmasterの独り言(´・ω・｀)

2ちゃんねるのコテが気ままにつぶやきます(´・ω・｀)ﾉｼ

難しい組み合わせ数学の問題が解けました！！この感動を伝えたい！！(´・ω・｀)

数学

 

まずは問題をば(´・ω・｀)

はい問題+(0ﾟ・∀・)+

[問]

■■　■■

■■　■

上のような座席配置の教室で7人が席替えをする
元々隣同士だった2人は席替え後には隣同士にならないような席替えの仕方は何通りか？

 

はい(´・ω・｀)

解答は下の方に載っけときますので、自力で解きたい方はスクロールに気をつけてくだしあ

 

この問題の裏事情(；・∀・)

とりあえず世間話で長さを稼ぎます

この問題が出された経緯を話しますと、昨日2chのニュー速VIPという掲示板で数学の問題(特に組み合わせ論)を募集するスレを立ててみたんです↓↓

組み合わせ論 ･
http://hebi.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1513736523/

そこで、ある方が適当に作問したのがアレです

(ただし少し改題してあります、本家は上記のスレにあります)

作問された方も解法が思い浮かばないとの事で、出された側はたまったもんじゃありませんねｗｗｗ(´；ω；｀)

このスレの最後の方に来られた方がJavaでプログラムを組んで、７席の場合まで計算されています

そして今日、その方が再度スレを立てて解答を募集していました(´・ω・｀)↓

【至急】数学得意な奴これ解いてくれ！！
http://hebi.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1513849429/

私はこれを偶然(必然)見かけて、再度挑戦してみた所うまい解法が！！

感動で咽び泣くまである(´；ω；｀)

問題を見てから解くまでに１日かかってますからね…

皆さんも数十分で諦めずに一日お考えください( ´･ω･)ﾌﾋﾋﾋﾋ

一般化できます、答えは汚くなりますが。

では、答えを見ていきましょう(((っ･ω･)っ

※合ってる保証はありませんご了承下さい(´>ω∂`)

 

答え(っ＞ω＜c)

[解答]

{\displaystyle a_n}をn席の時に題意を満たす場合の数とする。
全ての席替えの場合の数はn!通り
元々の隣り合う組を{\displaystyle (p_1,p_2),(p_3,p_4),}…とする。
ここで、一組だけが隣り合う場合を考える。
その時、その一組の選び方は{\displaystyle {[\frac{n}{2}]}}通りあり、その一組の配置の仕方は{\displaystyle {[\frac{n}{2}]}}通りある。また、その二人の並び方は2通りある。さらに、他の人たちの席の決め方は{\displaystyle a_{n-2}}通りあり、他の人たちの中で、元々隣り合っていたペアが隣り合う、という事は無い。
同様に、二組が隣り合う場合、三組が隣り合う場合、…と考えていくと、その合計は

{\displaystyle \sum_{k=1}^{ [ \frac{n}{2} ]} {}_{[ \frac{n}{2} ]} \mathrm{C}_k \cdot {}_{[ \frac{n}{2} ]} \mathrm{P}_k \cdot 2^k \cdot a_{n-2k}}
となる事より、求める場合の数は

{\displaystyle a_n=n!-\sum_{k=1}^{ [ \frac{n}{2} ]} {}_{[ \frac{n}{2} ]} \mathrm{C}_k \cdot {}_{[ \frac{n}{2} ]} \mathrm{P}_k \cdot 2^k \cdot a_{n-2k}\\a_1=1,a_3=4 }

したがって、n=7のとき

{\displaystyle a_7=3264}

 

終わり

なにげにTeX初挑戦でした！(*´･ω･`)=3

漸化式解けんのかなこれ

解けたら教えて下さいm(_ _)m

 

何かお気づきの点がございましたら是非コメントしてくだしあ(´・ω・｀)

以上です！